Кьянезе родился в Бронксе, Нью-Йорк. Его отец был строителем, укладчиком кирпича. Доминик окончил достаточно престижную школу – Старшую Бронкскую Научную. В пятидесятых он работал укладчиком кирпича вместе с отцом, параллельно посещая вечернюю школу. В 1961-ом он окончил Бруклинский Колледж со степенью бакалавра по речи и театральному мастерству.
Первый опыт выступления у него был в 1952-ом, с компанией исполнителей творчества Гилберта и Салливана «The American Savoyards», работавшей тогда под руководством Дороти Редлер.
После десятилетия работы в университетских и внебродвейских театрах, Кьянезе решил пройти настоящие курсы актерского мастерства и записал в театральную студию «HB Studious» на Манхеттене; заведение было вполне приличным, одним из преподавателей был сам Уолт Уитковер. После прохождения курсов Доминик уже буквально бредил драмой и мюзиклами.
Первый раз на Бродвей он попал в 1965-ом, в мюзикле «Оливер!». После этого у Кьянезе был еще целый ряд различных бродвейских и внебродвейских ролей; в течение периодов безработицы он добывал себе пропитание игрой на гитаре и пением в тавернах и ресторанах.
На телевидение Кьянезе попал, когда Джордж Си Скотт порекомендовал его на роль в сериал «Ист-Сайд, Вест-Сайд». В 1974-ом Фрэнсис Форд Коппола дал Доминику роль Джонни Олы в фильме «Крестный отец 2»; эта роль стала большим стартом для Кьянезе, и с этого момента его приглашали уже куда более охотно – так, вскоре после «Крестного Отца» Доминик сыграл сразу в целом ряде фильмов с Аль Пачино.
До этого прорыв Кьянезе подрабатывал в Комитете по проблемам Наркоторговли в Нью-Йорке, в центре реабилитации. Там актер учил излечивающихся и отсиживающих за различные преступления наркоманок основам гитарной игры.
Доминик не ограничивается одним лишь актерским ремеслом – он также и музыкант, выпустивший уже один диск («Hits», в 2000-ом). Обычно он исполняет американские и итальянские песни под гитару.
Сын актера, Доминик Кьянезе-младший пошел по стопам отца и также успел сыграть в сериале «Клан Сопрано» – члена вымышленного бандитского клана Люпертаззи.