Во время войны Юрий Пузырев был эвакуирован, а после возвращения домой поступил в машиностроительный техникум, но у него не было интереса к техническим дисциплинам, и мама помогла ему устроиться на работу в массовку в Большой драматический театр.
Вскоре Юрий поступил в Школу—студию при ленинградском МХАТе, где учился на курсе И.М.Раевского. Он окончил ее в 1952 году и пришел в труппу Центрального театра транспорта, в котором проработал до 1958 года, после чего перешел во МХАТ.
Юрий Пузырев много снимался в кино.
Впервые зрители его увидели в 1954 году в роли лейтенанта Королькова в фильме «Морской охотник». Также он снимался в таких фильмах, как «Невеста», «Поединок», «Слепой музыкант», «Отряд особого назначения», «Великий самоед» и многих других картинах.
Юрий Пузырев также был хорошим исполнителем песен. Именно он впервые исполнил песни Александры Пахмутовой и Николая Добронравова «Тревожная молодость» в 1958 году и «Надежда» в 1972 году.
После раздела МХАТа в мае 1991 года Юрий Пузырев ушел из театра, а 24 мая 1991 года он скончался. По признанию знавших его людей, он сильно переживал уход из театра.
Юрий Пузырев был похоронен на Троекуровском кладбище в Москве.