В Ленинграде Столбов-старший работал инженером-рентгенологом на адмиралтейском заводе. С началом Великой Отечественной Войны, отказавшись от брони, он ушел служить в ополчение, где и погиб в сентябре 1941 года. Его жена с детьми была эвакуирована по Дороге Жизни в город Чкалов, откуда вернулась вскоре после окончания войны. Зинаида Михайловна работала учителем математики, была очень музыкальна – хорошо пела, играла на фортепиано и семиструнной гитаре.
Анатолий после окончания средней школы некоторое время работал техником-рентгенологом. В 1952 году он поступил на актерское отделение Театрального училища имени Щепкина, окончив которое в 1958 году был принят в штат киностудии «Ленфильм». Затем, с 1959 по 1961 годы, Анатолий Столбов был актером Ленинградского малого драматического театра, а в 1965 году вновь вернулся на киностудию «Ленфильм», где работал в театре-студии киноактера.
Дебют Анатолия Столбова в кино состоялся в 1959 году в фильме «Театр зовет», а свою первую заметную роль актер сыграл у Павла Кадочникова в фильме «Музыканты одного полка», в котором продемонстрировал яркое характерно-комедийное дарование. В этом же ключе были созданы лучшие роли Столбова: Палван («Республика ШКИД»), комендант общежития («Семь невест ефрейтора Збруева»), Чинуша («Рожденная революцией»), Хомутников («Соль земли»), Илья Горшков («Дударики»). Сам Анатолий Михайлович очень любил свою работу в фильме «В лесах под Ковелем» и считал роль Казимира одной из лучших в своей кинобиографии.
Анатолий Столбов был дважды женат. От первого брака у него родилась дочь Ольга, которая уже много лет работает в РАО. Дочь от второго брака Татьяна окончила Литературный институт и занимается литературным творчеством, является членом Союза писателей России. Она написала сценарии к двум сериям телесериала «Золото Шлимана», а скоро начнутся съемки 8-серийного телефильма «Военная разведка» по ее сценарию.
В конце 80-х годов врачи поставили Анатолию Столбову страшный диагноз – рак горла. Актер перенес несколько тяжелых операций, в результате которых он фактически не мог больше разговаривать и был вынужден ходить с трубкой в горле. Но, обладая очень сильным характером, Анатолий Михайлович до конца дней оставался оптимистичным человеком, стойко переносящим болезнь, много читающим и интересующимся всеми происходящими событиями.