Александр Дривень родился 31 мая 1984 года в городе Горьком (Нижний Новгород) в Автозаводском районе. Проявил свои актерские задатки в народном театре ДК ГАЗа.
В 2004 году поступил на актерское отделение Высшего театрального училища им. Щепкина, где учился на курсе профессора В. И. Коршунова.
В 2007 году дебютировал на сцене Государственного драматического Малого театра в пьесе А. Островского «Бедность не порок» (Ряженый). Сыграл в дипломных спектаклях «Лето и дым» Т. Уиллиса (Джон Бьюкенен), «Севильский цирюльник» П. Бомарше (Бартолло), «Школа злословия» Ф. Шеридана (Джозеф), «Дни Турбиных» М. Булгакова (Тальберг).
После окончания училища в 2008 году был принят в труппу Малого театра, где занят в спектаклях: «Дети солнца» М. Горького (Мастеровой), «Недоросль» Д. Фонвизина (Милон), «Дон Жуан» А. Толстого (Дон Цезарь), «Наследники Рабурдена» Э. Золя (Доминик), «Влюбленные» К. Гольдони (Граф Роберто), «Любовный круг» С. Моэма (Джордж), «Умные вещи» С. Маршака (Музыкант), также занят в пьесах Ж.-Б. Мольера «Мнимый больной» и «Свадьба, свадьба, свадьба!» А. Чехова.
На экране впервые появился, будучи студентом, когда сыграл в криминальной мелодраме «Защита против». В 2009-2010 годах снялся в ведущих ролях в молодежных сериалах «Любовь — не то, что кажется» (Дмитрий Князев), «Кремлевские курсанты» (Костя), а также исполнил роль Олега, жениха Насти в мелодраме «Земский доктор».