В 1938 году Александр стал учеником средней школы № 583 Октябрьского района. С началом войны с 1941 по 1943 годы вместе с мамой находился в эвакуации в Астрахани. Вернувшись в Москву, продолжил образование в той же школе. Окончив восемь классов, устроился работать на авиационный завод № 43 и одновременно учился в школе рабочей молодежи.
В 1950 году Александр Шворин поступил на актерский факультет театрального училища имени Щукина на курс Анны Алексеевны Орочко. Его однокурсниками были Григорий Абрикосов, Елена Добронравова, Юлиан Панич, Леонид Сатановский, Антонина Дмитриева.
Окончив училище в 1954 году, Шворин стал актером театра имени Станиславского, где отработал три сезона. Далее, с 1957 до 1975 годы, сменил несколько коллективов – был актером Киевской киностудии имени Довженко, Московских театров: драмы и комедии, театра на Малой Бронной, театра имени Гоголя. В 1975 году был приглашен Андреем Гончаровым в труппу театра имени Маяковского и оставался здесь до конца жизни.
На этой сцене сыграл более десяти ролей, среди которых Гура («Соловьиная ночь»), Корифей хора («Беседы с Сократом»), Кузькин («Энергичные люди»), Мытников («Долгожданный»), Роберт Дадли («Да здравствует королева, виват!»), священник Тукер («Кошка на раскаленной крыше»), Сахатов («Плоды просвещения»), мсье Папелон («Закат»), лорд Портес («Круг»).
В кино Александр Шворин дебютировал в 1955 году у классика советского кино Бориса Барнета в фильме «Ляна». Затем последовала роль Сокольничка в сказке «Илья Муромец».
В 1957 году Шворин сыграл одну из лучших своих киноролей – Марка Бороздина в фильме Михаила Калатозова «Летят журавли», в которой раскрылся его многогранный драматический талант. В дальнейшем чаще всего играл образы сильных мужественных героев и характерные роли. Среди лучших работ: Гордиенко («Небо зовет»), Боб («Деловые люди»), Филин («По тонкому льду»), Саня («Ты – мне, я – тебе»).
В жизни Александр Борисович был веселым и общительным человеком. Среди друзей слыл безоговорочным лидером, шоуменом, душой компании. Умел объединять вокруг себя людей, полностью концентрируя внимание на себе. При всем при этом свободное время любил проводить дома. Увлекался резьбой по дереву, вырезая деревянные статуи. Обладал неуживчивым характером, не любил советскую власть. Возможно, что именно из-за этих качеств актер так и не получил никакого звания, недоиграл много ролей как в кино так и в театре.
Александр Борисович так же занимался концертной деятельностью, участвуя в концертах от Московской филармонии.
Александр Шворин был трижды женат. Первой его супругой была дочь актера Сергея Лукьянова от первого брака, Татьяна. Второй – дочь летчика Анатолия Ляпидевского Александра. В третий раз Шворин женился в 1970 году на Лебедевой Виктории Константиновне (1929-2004), юристе-международнике, работавшей в институте экономики. Детей у актера не было.
Последние полтора года жизни Александр Борисович тяжело болел, страдая астмой, и уже не мог выходить на сцену. Скончался в ночь с 22 на 23 августа 1994 года от эмфиземы легких. Похоронен на Головинском кладбище Москвы.