В 2010 году окончил Школу-студию МХАТ (курс И. Я. Золотовицкого) и был принят в стажёрскую группу Московского Художественного театра. В МХТ им Чехова актер был задействован в спектаклях «Прокляты и убиты» (роль: Шестаков, Брыкин), «С любимыми не расставайтесь…» (роль: Алферов, Беляев), «Мастер и Маргарита» и «Пиквикский клуб». Также Алексей Кирсанов сыграл Ивана в постановке пьесы «Олеся» режиссера Г. Полищука на сцене театра Et Cetera под руководством Александра Калягина.
Алексей увлекается игрой на гитаре, играет в футбол, хоккей, теннис, занимается плаванием и баскетболом.
Алексей Кирсанов дебютировал в кинематографе в 2010 году, снявшись в эпизодической роли в сериале «Глухарь. Возвращение». К 2015 году его фильмография насчитывала уже около десятков кино- и телепроектов. Среди них такие, как: «Игра» (сериал на телеканале НТВ про противостояние оперативника ФСБ с отчаянным бандитом); шестой сезон детективного сериала «Каменская»; многосерийная полицейская драма «Пятницкий»; авантюрная криминальная мелодрама «Королева бандитов»; сериал о жизни одного из самых бойких столичных мест «Москва. Три вокзала» и др.
В 2015 году зрители увидели Алексея Кирсанова в «Законе каменных джунглей» — молодежном киносериале «про гангстеров во времена хипстеров» на канале ТНТ. Актер сыграл лейтенанта ДПС Сашу.