Родился в Сен-Мало (Франция). Для того, чтобы посвятить себя киноискусству, бросил медицинское училище и поступил в парижскую Школу Изящных искусств (Ecole des Beaux-Arts), по окончании которой стал художником. Во французском кино стал работать сначала как художник по костюмам и декорациям.
После занятий теорией драматического искусства с Чарльзом Дуллином, Кюни в начале 30-ых стал играть на театральной сцене и в кино.
В 1941 году дебютировал в фильме "Буксиры". В 1942 году исполнил роль Жиля в фильме Марселя Карне "Вечерние посетители". Кюни сыграл роль посланца Сатаны, полюбившего земную девушку, и тем бросившего вызов своему господину. Бесстрашие, проявленное героем Алена Кюни, воспринималось в оккупированной Франции как призыв к духовному сопротивлению.
Кюни продемонстрировал свой талант только в нескольких французских и итальянских фильмах, появляясь сначала в амплуа романтических героев, а позже играя интеллектуалов. Среди лучших ролей — трагический образ Штейнера, философа в мучительных противоречиях в фильме "Сладкая жизнь" (1959, реж. Федерико Феллини), Лих в экранизации Петрония "Сатирикон-Феллини" (1969), в фильмах Франческо Рози — Расто в ленте "Сиятельные трупы" (1976), барон Николо Ротуно в картине "Христос остановился в Эболи" (1978) и Видовер в "Хронике объявленной смерти" (1987).
Значительная актёрская работа — сатирическая роль интеллигента, увлёкшегося игрой в революцию в ленте режиссёра Патриса Обье "Вальпараисо, Вальпараисо" (1973).
Снимался в фильмах выдающихся кинорежиссёров Микеланджело Антониони, Луи Маля, Жан-Люка Годара, Мауро Болоньини, Жана Деленуа, Луиса Бунюэля, Марко Феррери, Робера Энрико.
В 1991 году поставил фильм "Весть, посланная Марии" по своему сценарию, в котором исполнил одну из главных ролей.
Снимался на ТВ.