В 1932 окончил Ленинградский техникум сценических искусств. С 1927 по 1929 г.г. - артист Владикавказского городского театра.
С 1929 по 1932 г.г. - актер Ленинградского Большого Драматического театра, с 1932 по 1933 г.г. - Днепропетровского городского театра, с 1933 по 1934 г.г. - Ленинградского театра Комедии, с 1934 по 1935 г.г. - Ленинградского ТЮЗа, с 1935 по 1945 г.г. - Ленинградского Нового ТЮЗа, в 1946 по 1974 г.г. - артист Блокадного театра.
С 1959 года - актер Ленинградского театра имени В.Ф. Комиссаржевской.
В кино с 1952 года. Его дебютом стала роль художника Валентина Серова в фильме «Римский-Корсаков».
Сын - Сергей Коковкин (20 августа, 1938 г.р.) сценарист, режиссёр и актёр. Его пьесы ставили Роман Виктюк, Кама Гинкас, Сергей Яшин, Борис Морозов и другие, написал 30 пьес. Является членом Союза писателей и Союза театральных деятелей.
Борис Сергеевич Коковкин ушел из жизни 18 ноября 1985 года.