Сразу после окончания школы один год отработал массовиком Краснотурынского Дома Культуры имени Ленина. Затем год учился в студии при Красноярском драматическом театре имени Пушкина и участвовал в спектаклях этого театра.
В 1947 году Алексей приезжает в Москву и один год работает в Театре-студии киноактера, снимаясь в маленьких эпизодах: Петруха («Сказание о земле Сибирской»), комдив («Мичурин»), Петр («Донецкие шахтеры»).
В 1950 году он поступил во ВГИК в мастерскую Василия Васильевича Ванина. После смерти Ванина в 1951 году курс перешёл к знаменитому мхатовцу Владимиру Вячеславовичу Белокурову. Вместе с Бахарем на курсе учились Ия Арепина, Нина Гребешкова, Тамара Логинова, Феликс Яворский.
В 1954 году Алексей Бахарь закончил ВГИК и поступил в труппу Театра-студии киноактёра. С этого же года актёр начал сниматься. Фактурная внешность Бахаря привлекла режиссёров, и его стали использовать чаще всего в ролях отрицательных персонажей.
Среди ролей: Дарьин («Есть такой парень»), Павлов («Они были первыми»), Субботин («Матрос сошел на берег»), Казачок («Повесть о первой любви»), водолаз («Голубая стрела»), Мельников («Сержанты»), Гордеев («Семь нянек»), Генералов («Пядь земли»), отчим («Здравствуй, это я!»), фон Розен («Взрыв после полуночи»), милиционер («Опекун»), инженер («Седьмое небо»), начальник техники безопасности («Дни хирурга Мишкина»).
Алексей Александрович Бахарь ушел из жизни 17 ноября 1979 года в Москве. Похоронен актёр на Митинском кладбище столицы.