Роберт Штраусс родился 8 ноября 1913 года в Нью-Йорке, в семье театрального художника по костюмам. В молодости сменил много профессий, был продавцом, официантом и помощником официанта.
С конца 1920-х годов стал играть на театральной сцене. Успех к актеру пришëл в театре на Бродвее в 1930 году, где он играл в классических пьесах Шекспира «Буря» и «Макбет». На Бродвее Р. Штраусс играл в пьесе «Шталаг 17» («Лагерь для военнопленных № 17»).
Сниматься в кино начал в 1942 году, но наиболее известным стал в 1950-х годах. В 1953 снялся в киноверсии «Шталаг 17» («Лагерь для военнопленных № 17») в роли Зверюги, за что в следующем году был номинирован на премию «Оскар» за лучшую мужскую роль второго плана. В 1930—1950 годах выступал в нескольких радиопостановках.
В 1960—1970-х годах снимался в кино, продолжая выступать на театральной сцене, участвовал во многих телевизионных программах, шоу и рекламных роликах. Сыграл целый ряд комедийных ролей.
Роберт Штраусс умер 20 февраля 1975 года от осложнений после инсульта.