Затем семья Козлёнковых переехала в Москву и жила на Сретенке. Именно там Клава и пошла в школу. С детства она увлекалась танцами, любила выступать на утренниках. Когда она училась в старших классах, началась Великая Отечественная война.
Чтобы помочь фронту, Клавдия пошла работать на школьный комбинат – шила белье для солдат. Утром училась в школе, а по вечерам работала.
В 1944 году ассистентка режиссера, случайно увидев ее на улице, пригласила на роль школьницы. Это был фильм «Это было в Донбассе» (режиссер Луков). Так состоялся дебют в кино. В основном это были эпизодические роли, но случались и роли второго плана.
В 1946-1948 г.г. училась в школе-студии МХАТ. В 1952 окончила театральное училище им. Щукина.
С 1952 работала по договорам на разных киностудиях. В 1964-1990 – актриса киностудии им. Горького.
В 1965 году Клавдия Козлёнкова снялась в главной роли – Галай – в фильме «Удивительная сила». Ее героиня – прообраз Гагановой, героя Социалистического труда. Она взяла отстающую бригаду и вывела ее в передовые.
В 70-е годы Клавдия Прокофьевна снялась в первых сериалах отечественного кинематографа: «Тени исчезают в полдень» (Авдотья) и «Вечный зов» (Ульяна). Ее героини были простыми деревенскими женщинами, которые помогают строить новую жизнь на селе. Затем была целая киногалерея матерей («Здравствуй, это я!», «О чем молчала тайга», «День и вся жизнь», «Золотой шлем», «Сергей Кольцов», «Красиво жить не запретишь»).
Актерская невостребованность привела Клавдию Прокофьевну в группу дублирования иностранных картин. Ее обучал дубляжу режиссер Жано (муж Янины Жеймо). Актриса озвучивала французские, египетские, узбекские, польские и немецкие картины, в том числе главные роли в фильмах «Невеста», «Пианки», «Возвращение Мартина Гера» и др.
Клавдия Прокофьевна Козлёнкова снималась и в рекламе фирмы «Домик в деревне». Она была первой бабушкой, которая сказала, что «Хорошо иметь домик в деревне».
В своей актерской биографии она сыграла большое количество подружек главных героинь, соседей, простых женщин, но самой своей любимой работой актриса называет роль няни в фильме «У истока дней».
Клавдия Козленкова ушла из жизни 8 августа 2005 года в Москве. Похоронена на Химкинском кладбище.