Ричард Бейсхарт (имя при рождении — Джон Ричард Бейсхарт) родился в семье журналиста Гарри Бейсхарта и был одним из пяти детей (у него была сестра и трое братьев, один из которых, Роберт, умер в девять месяцев). Его мать умерла во время родов, поэтому отцу пришлось отдать детей в приют из-за невозможности одновременно заниматься их воспитанием и работой.
В 12 лет Ричард решил пойти по стопам отца, работавшего тогда редактором воскресной газеты THE ZANESVILLE OHIO TIMES SIGNAL, и стал газетным репортёром диктором на радио. Работал со старшим братом в водоотводной компании. Также он участвовал в предвыборной кампании своего дяди на пост мэра Занесвилла, который в итоге победил на выборах. После окончания средней школы, работая в газете, узнал об махинациях в мэрии, из-за чего начался крупный скандал, ставший причиной его увольнение (он ударил детектива, ведущего расследование).
В 1938 году Ричард Бейсхарт попал в труппу филадельфийского театра Hedgerow Theatre, где выступал вплоть до 1942. Позже он попадает на Бродвей. После ряда представлений получает приглашение исполнить роль истинного шотландца в спектакле по пьесе "Горячее сердце". Его игра была высоко оценена театральными критиков Нью-Йорка, вручившие ему позже приз как лучшему начинающему актёру 1945 года.
Вскоре Бейсхарт дебютировал в кино с лентой «Ложная тревога» (1947), заключив вскоре контракт с 20th Century Fox. Снялся в фильмах «Розанна Маккой», рассказывающем о вражде Хаттфилдов и Маккоев, «Напряжённость» (оба — 1949), «Четырнадцать часов» (премия Национального совета кинокритиков США за лучшую мужскую роль) и «Дом на телеграфном холме» (оба — 1951). На съёмках последнего он познакомился с итальянской актрисой Валентиной Кортезе, на которой женился в том же году. Через девять лет они развелись. В браке родился сын — актёр Джеки Бейсхарт.
Самой известной его ролью считается Матто в фильме Федерико Феллини «Дорога» (1954). Режиссёр на вопрос Ричарда о том, почему на эту роль был выбран именно он, тот ответил: «Если Вы сделали то, что сделали в Четырнадцати часах, то сможете что угодно». Он сыграл и в следующем ленте Феллини «Мошенники» (1955).
Среди следующих его ролей можно отметить Измаила в «Моби Дике» (1956, премия Национального совета кинокритиков США за лучшую мужскую роль второго плана), майора Гарри Каргилла в «Лимите времени» (1957, номинация на премию BAFTA за лучшую мужскую роль среди иностранцев), Ивана Карамазова в «Братьях Карамазовых» (1958), немецкого фюрера в «Гитлере» (1962), Глашатая Закона в «Острове доктора Моро» (1977) и Владимира Скрапинова в «Будучи там» (1979).
Бейсхарт имел успех и в сериалах. Сыграл главную роль, адмирала Нельсона, в «Путешествии на дно океана» и главу «Фонда за Закон и Порядок» Уилтона Найта в «Рыцаре дорог» (также его голос звучит в заставке серий). Он также принимал участие в «Дымке из ствола», «Сумеречной зоне», «Гавайи 5-O», «Бене Кэйси» и некоторых других. В эпизоде «Коломбо» под названием Из любви к искусству вместе с Хонор Блэкман играют пару театральных актёров, убивающих режиссёра спектакля. Снялся в ряде телефильмов. Кроме того, благодаря своему глубокому и сильному голосу часто выступал рассказчиком для кино- и телепроектов. Был диктором на церемонии закрытия Летних Олимпийских игр 1984 года.
Всего Бейсхарт был женат три раза. На следующий год после смерти первой жены Стефании Кляйн он женился итальянской актрисе Валентине Кортезе. После их развода в 1960 году, он женился на Дайане Лотери, с которой в 1971 году организовал благотворительный фонд защиты животных Actors and Others for Animals. В третьем браке у актёра родилось две дочери: Дженна и Гейла.
Ричард Бейсхарт умер после нескольких инсультов в возрасте 70 лет в Лос-Анджелесе.