В 1936 году юный Борис шёл со своим товарищем из школы, как вдруг ребят остановила женщина и обратилась именно к товарищу Бориса:
"Мальчик, хочешь сниматься в кино?" - При этом она достала блокнот, вырвала страничку и стала что-то туда записывать.
"А мне нельзя?" – не выдержал Боря.
"Ну, приходи", – ответила женщина и передала мальчикам адрес студии "Детфильм".
Женщину звали Валентина Сафронова, она была ассистентом режиссёра на фильме "Белеет парус одинокий". Через 2 месяца Борис Рунге прошёл прослушивание – читал вступление к "Медному всаднику" – и был утверждён на роль Пети Бачея.
Будучи шестиклассником Рунге снялся ещё в одном фильме – в "Личном деле" он сыграл Лёву Прокушева. Потом были "Сельская учительница", "Свадьба с приданым", "Степные зори", "Цветы запоздалые".
Борис Рунге воевал. С фронта вернулся младшим лейтенантом. В 1947 году поступил в Московское городское театральное училище, преобразованное затем в ГИТИС им. А. Луначарского. Став актёром, Борис Рунге пришёл в Театр сатиры, в котором и проработал до конца своих дней. Наибольшим успехом пользовались его роли в пьесах В. Маяковского. В частности, в "Бане" он сыграл Велосипедкина – эта работа собрала восторженную прессу и выдвинула Рунге в ряды актёров, на которых держится репертуар театра.
А в середине 60-х на телеэкранах появился "Кабачок 13 стульев", лидирующее положение в котором занимал дуэт пани Моники (О. Аросева) и пана Профессора (Б. Рунге). "Однажды мы с Ольгой Александровной разыграли на телевидении юмореску, где действующими лицами были друзья детства – бывшие одноклассники. Оказалось, что нам очень легко работать вместе. Так и родился наш дуэт", – говорил в одном из интервью Борис Васильевич. Актёры и после распада "Кабачка" постоянно выступали вместе на эстрадных концертах, творческих встречах в праздничных телепрограммах.
Ольга Аросева говорила о Борисе Рунге в одном из интервью: "Это был исключительный человек. Самый лучший из тех, кого я знала. Редко, прямо скажем, встречаются такие люди в нашей жизни вообще, а уж в актерской среде - тем более. Изумительной порядочности, несравненной мягкости, интеллигентности, товарищ очень хороший. И актер прекрасный. Мне его очень не хватает..." После смерти Бориса Рунге Ольга Аросева на эстраду больше не выходила.
Среди фильмов с участием Бориса Рунге можно назвать "Сельскую учительницу", "Стариков-разбойников", "Невероятные приключения итальянцев в России". Кроме того, актер работал на радио, озвучивал мультфильмы
Похоронен на Ваганьковском кладбище