Берроуз родилась 22 октября 1972 года в Лондоне, Англия, в семье политических активистов и социалистов. Ее отец был архитектором и школьным учителем. Мать Сьюзи – учителем и феминисткой. В возрасте 15 лет Саффрон начала карьеру модели. На экране Берроуз дебютировала в фильме 1993 года «Во имя отца». Первую известность получила благодаря роли амбициозной ирландки в фильме 1995 года «Круг друзей».
Берроуз является близкой подругой политического деятеля Тони Бенна. Также она – социалист, и с восторгом отзывается о французском политическом деятеле Сеголене Ройял. В возрасте 11 лет Саффрон вступила в группу антирасистов, является вице-президентом National Civil Rights Movement.
В 1999 году в интервью Саффрон Film Unlimited Берроуз призналась, что является биссексуалкой. Несколько лет она жила гражданским браком с режиcсером Майком Фиггисом. После разрыва появились слухи о связи Саффрон с актрисой Фионой Шоу, однако ни та, ни другая не подтвердили эту информацию. Вполне вероятно, что слухи пошли после их совместного появления на сцене National Theatre в постановке «The PowerBook» по пьесе Jeanette Winterson, в которой они сыграли любовниц.