Иван по окончании Алапаевской средней школы № 2 в 1942 году поступил в Уральскую государственную консерваторию имени Мусоргского на факультет народных инструментов по классу баяна. Не окончив её, в марте 1943 года добровольцем ушёл на фронт. Воевал в составе 85-го полка 34-й дивизии войск МВД, участвовал в выселении ингушей с их родной территории.
Демобилизовавшись в мае 1946 года в звании младшего лейтенанта, Иван Косых поступил в Свердловскую школу киноактёра. Проучившись там два года, в 1948 году перевёлся на третий курс актёрского факультета ВГИКа, который вели Сергей Юткевич и Михаил Ромм. По его окончании в 1951 году Косых был зачислен в штат театра-студии киноактёра, где работал до ухода на заслуженный отдых в 1990 году. На его сцене играл во многих спектаклях.
В кино Иван Косых снимался с 1950 года. Исполнял чаще всего небольшие героические и характерные роли. Среди них преобладали, в основном, военные и рабочие. Изредка актёру предлагали роли в экранизациях классических произведений, такие как Шатала («Весёлые расплюевские дни») или Квашин («Враги»). Ещё реже отрицательных персонажей. Самый яркий из них – предатель Солодчий в «Они были актёрами». Дважды Косых сыграл В.И. Ленина в фильмах «Враг народа – Бухарин» и «Троцкий». Так же на экране Ивану Сергеевичу пригодилось его виртуозное умение играть на баяне – во многих фильмах он не раз представал играющим на музыкальном инструменте.
Параллельно с актёрской деятельностью Иван Косых работал в качестве ассистента режиссёра на более десяти картинах. В 1961 году написал сценарий «Люди с далёкой реки», но он, в итоге, так и не был поставлен. В театре-студии киноактёра вёл активную военно-шефскую работу. Принимал участие в концертах с программой «Солдат всегда солдат».
В 1960 году Иван Сергеевич женился на Волковой (затем – Косых) Нинель Дмитриевне, преподавательнице физики и математики, с которой был знаком с детства. Он стал отцом её детям от первого брака, сыновьям Вячеславу (1947 г.р.) и Виктору (1950-2011). Последний, повзрослев, не только взял фамилию отчима, но и пошёл по его стопам, избрав профессию актёра. В 1963 году у Ивана Сергеевича и Нинель Дмитриевны родилась дочь Наталья.
В жизни Иван Косых был весёлым, энергичным, никогда неунывающим человеком, с хорошим чувством юмора. В его доме всегда было много гостей, которых он принимал очень открыто и хлебосольно. Среди его друзей были Сергей Столяров, Евгений Моргунов, Раднэр Муратов и другие.
Скончался Иван Сергеевич в больнице после сердечного приступа. Урна с его прахом захоронена в колумбарии Николо-Архангельского кладбища.