Обучение Стэнтон начал в Нью-Йоркском университете Тиш. Свою актерскую карьеру Стэнтон начал в театре в Delacorte в 1985 году с одноименной пьесы «Мера за меру» Джозефа Паппа.
Дебют актера в кино прошел в триллере «Дом на Кэрролл-стрит» в 1987 году. Затем Роберт снялся в популярных сериалах: «Закон и порядок» (1990 – 2010), «Третья смена» (1999 – 2005), «Правильная жена» (2009 – ...) и других.