Отец был опереточным актером и служил в театре Вахтангова, мама была преподавателем в консерватории.
Сам Александр Борисович в 12 лет попал в театральную студию при Белорусском телевидении и с того же времени работал в детской редакции на телевидении.
А в 14 он уже сыграл на сцене ТЮЗа свою первую роль - Школьник в спектакле «Мишка, Сережка и я - Гарик».
В 1967 году он поступил в студию при Купаловском театре, и его пригласили в ТЮЗ, где он сыграл более 40 ролей.
А после окончания института, т.е. получив высшее актерское образование, Кашперов перешел в Театр-студию киноактера.
В кинематографе Александр Кашперов снялся более чем в ста фильмах. Нужно отметить, что во всех своих работах разрабатывает подлинно народный, национальный характер.
Его роли всегда отличаются юмором, лукавством и, вместе с тем, удивительной добротой, мудростью и драматизмом.
С 1991 года Александр Борисович - член Союза театральных деятелей, Белорусского союза кинематографистов, общественного объединения «Белорусская гильдия актеров кино».
Неоднократно работа и высокое профессиональное мастерство Александра Борисовича отмечались Союзом театральных деятелей.
В 2006 году награжден медалью Франциска Скорины.