Родился Борис в 1937 году. Будучи маленьким мальчиком, Борис уже тогда мечтал стать актером и играть на большой сцене. Творческая натура Бориса с малых лет выделяла мальчика среди сверстников его возраста. Поэтому учебу в ВУЗе и будущую профессию Борис Чунаев выбрал для себя, не задумываясь.
В 1967 году он получает диплом актера школы-студии МХАТ. И почти сразу его принимают в прославленный коллектив театра Ленком. Яркие, характерные и запоминаемые роли, что достаются Борису Чунаеву, приносят ему уважение коллег и признание публики.
Среди самых блестяще сыгранных им ролей можно отметить: образ Степана в постановке «Поминальная молитва»; роль Валерия в потрясающем спектакле «Три девушки в голубом»; роль Иоста «Тиль» и конечно дядю Лешу в знаменитой постановке Ленкома «Диктатура совести».
К сожалению, на большом экране актера Бориса Чунаева можно увидеть нечасто. Среди картин с участием актером: 1986 год – кинофильм «Баллада о старом оружии»; 1987 год – кинофильм «Приход Луны»; 1988 год – кинофильм «Убить дракона»; 2004 год - мистический детектив «Полнолуние»; 2008 год – спортивная кинодрама «Каменная башка».