Демобилизовавшись в 1944 году, Савкин поступает на работу токарем при МТС в селе Балаганск. Затем в 1947 году Иван едет учиться в театральную студию Иркутского областного драматического театра, после закрытия которой в 1948 году остаётся работать актёром в этом театре. В 1949 году Савкин приезжает в Москву и два года работает монтажником на строительстве МГУ.
В 1951 году Иван Иванович поступает на актёрский факультет Театрального училища имени Щепкина, которое заканчивает в 1956 г. Учась на четвёртом курсе института, Савкин дебютирует в кино в роли Юрася в фильме Алексанра Зархи "Нестёрка", затем сразу же следует роль Седых в фильме "На острове Дальнем". С 1956 по 1957 г.г. и с 1960 по 1990 г.г. Иван Савкин - актёр Театра-студии киноактёра.
В 1957 году на экраны страны выходит приключенческий фильм Самсона Самсонова «Огненные вёрсты». Роль чекиста Заврагина в этом фильме сделала Савкина знаменитым. За ней последовали работы в фильмах «Звероловы», «Алёшкина любовь», «Рыжик», «Иваново детство», «Мой младший брат», «Город – одна улица», «Одиночество», «Мы, русский народ». Его амплуа в кино - это простые русские мужики, солдаты, матросы.
В 1965 году Савкин снимается в роли Степана Казанца в популярной комедии Эдмонда Кеосаяна «Стряпуха». Многие зрители помнят и любят актера именно по этой работе. Среди других фильмов с участием Савкина: «Там, где длинная зима», «Ошибка резидента», «Молодые», «И на Тихом океане», «Близкая даль», «Сюда не залетали чайки», «Торговка и поэт», «Крупный разговор», «Каракумы, сорок пять в тени», «Легенда о княгине Ольге», «Егорка».
Иван Иванович Савкин умер 6 мая 1996 года в Москве. Похоронен на Хованском кладбище.