Свою трудовую деятельность он начал контролером по хлопку на текстильном комбинате в городе Наволоки, затем работал чертежником на машиностроительном заводе в городе Комсомольске.
В 1940 году Алексей Петрович окончил актёрскую школу при киностудии «Мосфильм» и был зачислен в Центральный Театр Красной Армии.
Дебют Алексея Алексеева в кино состоялся в 1940 году, сразу после окончания актерской школы.
С 1941 по 1945 годы Алексеев участвовал в Великой Отечественной Войне. После демобилизации вошёл в штат киностудии «Мосфильм» и Театра-студии киноактёра, где состоял до 1989 года.
Алексей Алексеев был одним из лучших мастеров советского дубляжа, став впоследствии режиссером дубляжа.
В начале 90-х годов у Алексея Алексеева обнаружили рак. Была сделана операция, которая продлила жизнь актёру на несколько лет.
Скончался 16 мая 1998 года в Москве. Похоронен на кладбище "Ракитки".