В 1991 году окончил РАТИ (ГИТИС), актёрско-режиссёрскую мастерскую О. Я. Ремеза – М. А. Захарова.
С 1992 по 2000 год работал в московском театре «Эрмитаж».
С 2001 г. работает в московском театре «Мастерская П. Фоменко».
В театре он играл в спектаклях "Вдова иллюзиониста", "Зойкина квартира" (Аметистов), "Парижская жизнь" (барон де Гондремарк), "Анкор, еще анкор", "Безумная из Шайо" (Мусорщик), "Мотылек", "Белые ночи".
Спектакль «Улисс» по 600-страничному роману Джеймса Джойса, где Горячев исполняет главную роль Леопольда Блюма, состоит из трех частей и длится 5 часов 40 минут (!).
В кино Анатолий Горячев дебютировал в 1990 году, сыграв Павлика Морозова в фильме В.Кузнецова "Летучий голландец". Активное сотрудничество с кино и телевидением началось в конце 1990-х годов - он сыграл в картине В.Ахадова "Женщин обижать не рекомендуется" (1999) и в сериале "Каменская" (1999). Затем была роль замполита в фильме "ДМБ-2" (2001) и в его продолжениях, а также в сериалах "Гражданин начальник", "Тайный знак", "Марш Турецкого-3".
Среди последних работ актера - фильмы "Кавказская рулетка" Ф.Попова, "Стилет" Н.Досталя и "Сон №5" С.Ткачева.