Сценическую деятельность начал в 1935 году в Театре В.Э. Мейерхольда (впоследствии — ГОСТИМ), ещё не будучи профессиональным артистом. В 1938 году окончил Театральное училище имени В.Э. Мейерхольда, играл в Госцентюзе (до 1941 года).
С 1942 по 1944 г.г. Воронов состоял в труппе Фронтового театра при Всероссийском Театральном Обществе (ВТО), с 1944 года играл в труппе Центрального детского театра (ныне — РАМТ). Именно здесь, на сцене детского театра, талант Воронова раскрылся в полной мере. Здесь артистом созданы образы, вошедшие в историю отечественного театрального искусства.
В 80–90-е годы выявили в творчестве Воронова новые черты. С возрастом оттачивались характеристики персонажей, навыки мейерхольдовской школы: ювелирная отделка жеста, богатство интонаций, владение мимикой.
Это особенно отчетливо сказалось в таких ролях, как Фёдор Нечаев («Поздний ребёнок» А.Г. Алексина, 1982), Жан Вальжан и Шанматье («Отверженные» Виктора Гюго, соответственно 1983 и 1989), доктор Павлов («Алёша» В.И. Ежова, 1985), доктор Кац («Жизнь впереди Ажара», 1993), Андрей Карлович («Капитанская дочка» А.С. Пушкина, 1994), Граф («Маленький лорд Фаунтлерой» Фрэнсис Бёрнетт, 1996), Старик («Марсианские хроники» Р. Брэдбери, 1999).
Иван Дмитриевич ушел из жизни 6 августа 2004 года в Москве. Похоронен актёр на Ваганьковском кладбище Москвы.