Среднее образование Вера получила в родном Саратове, в 1925 году окончив 10-ю единую трудовую школу. Будучи ученицей, увлеклась театром и, параллельно, с 1923 года стала заниматься в вечерней театральной студии.
После смерти отца в 1925 году Вера переехала к сестре в Ленинград, где в 1926 году окончила театральную студию при 1-м рабочем театре Пролеткульта и стала артисткой этого театра. В 1933 году была в числе основателей Ленинградского Нового театра, на сцене которого и работала со дня открытия (с 1953 года – Ленинградский театр имени Ленсовета) и сыграла десятки разноплановых ролей, среди которых Поля («Мещане»), Анна («На дне»), Сандырева («Счастливый день»), Валя («Русские люди»), Данилова («Спутники»), Ефимчик («Юность отцов»), Надежда («Человек с ружьем»), Еремеевна («Недоросль»), Атуева («Дело») и другие.
В кино Вера Кузнецова пришла уже в немолодом возрасте, имея за плечами многолетний театральный опыт. Дебютом стала небольшая роль Агафьи Карповны в «Большой семье». Однако, первый успех пришел к актрисе только 5 лет спустя в фильме Льва Кулиджанова «Отчий дом», где Кузнецова сыграла роль простой деревенской женщины Натальи Авдеевны, потерявшей в войну дочь и спустя много лет нашедшей ее в приемной семье. Вера Андреевна сыграла эту роль настолько естественно, что с первых же минут пребывания актрисы на экране начинаешь сопереживать ее героине, видя сколько душеных мук приходится переживать этой простой, побитой жизнью, женщине.
Естественность, душевная теплота, обаяние, доброта – вот отличительные черты всех героинь, сыгранных Верой Кузнецовой. Кажется, что актриса не играет, а живет на экране, просеивая через себя чужие судьбы. Отсюда безоговорочное доверие зрителей, узнающих в ней своих матерей, бабушек и просто хороших знакомых.
Второй по значимости после «Отчего дома» для Кузнецовой стала роль старухи в фильме Григория Чухрая «Жили-были старик со старухой», где замечательная актриса сыграла все ту же заботливую мать, переживающую за судьбу своих детей, разрывающуюся между ними и необузданной сварливостью мужа-старика.
Казалось бы после таких заметных работ и признания зрителей режиссеры должны были бы завалить актрису предложениями новых интересных ролей. Более того – на нее должны были бы писаться сценарии. Но этого не произошло. Вере Андреевне пришлось довольствоваться небольшими ролями и эпизодами в не всегда удачных картинах, многие их которых канули в лета. Даже звание заслуженной артистки она получила только в 69 лет! По всей видимости, причиной этому была природная скромность и порядочность Веры Кузнецовой, никогда не выпячивавшейся и не стучавшейся в высокие кабинеты.
По воспоминаниям родственников, в жизни она была такая же, как на экране – добрая и заботливая. В быту отличалась постоянной забывчивостью, но зато в работе всегда была внимательна и пунктуальна. Очень часто ее узнавали на улице. На рынке, куда она ходила за продуктами, все отдавали даром.
Еще будучи артисткой Театра Пролеткульта Вера Андреевна познакомилась с актером Анатолием Ивановичем Кузнецовым, за которого в 1927 году вышла замуж и прожила с ним до самой его кончины в 1954 году. У супругов родилось двое сыновей – Всеволод и Юрий. Всеволод Анатольевич Кузнецов (1928-2003) впоследствии стал актером, 47 лет служил на сцене Ленинградского Большого Драматического Театра и много снимался в кино. Младший сын Юрий Анатольевич Кузнецов (1945-1984) умер в возрасте 39 лет от рака.
Вера Андреевна ушла из жизни 1 декабря 1994 года в Санкт-Петербурге. Похоронена актриса на Большеохтинском кладбище, рядом с мужем и сыном.