Александр Афанасьевич Мельников родился в рабочей семье в Санкт-Петербурге 25 мая 1906 года. После заболевания, чтобы спасти мальчика, родители отправили его к дядьке в Ижевск, который с этого момента занимался его воспитанием. В марте 1922 года Мельников стал учеником школы ФЗУ Ижевских оружейного и сталелитейного заводов. По её окончании в июне 1925 года Александр вернулся в Ленинград и до сентября 1927 года работал токарем на заводе № 7. Параллельно учился в киномастерской ФЭКС под руководством Григория Козинцева и Леонида Трауберга. Когда в 1926 году она была закрыта, её руководители стали преподавать на киноотделении Ленинградского техникума сценических искусств. Мельников последовал вслед за ними и был принят сразу на второй курс. Кроме Козинцева и Трауберга со студентами так же занимались Евгений Червяков и Фридрих Эрмлер. Именно последний, в итоге, и стал основным педагогом Мельникова.
Кино
По окончании техникума в 1930 году Мельников стал штатным актёром «Ленфильма». До 1941 года он довольно много снимался как в небольших, так и главных ролях. Диапазон его персонажей был самый разнообразный – рабочие, комсомольцы, военные, люди искусства. Наиболее ярко актёр проявил себя в героических ролях, продемонстрировав своеобразное драматическое дарование и природную мужественность.
В декабре 1953 года пути Александра Мельникова снова пересеклись с «Ленфильмом». В качестве ассистента он там поработал со многими известными режиссёрами, в том числе с Владимиром Венгеровым, Николаем Лебедевым, Надеждой Кошеверовой и другими. В 1960-е годы на непродолжительное время вернулся в актёрскую профессию, снявшись в небольших ролях нескольких фильмов.
В 1967 году Александр Афанасьевич вышел на пенсию. Будучи пенсионером, по-прежнему интересовался всем происходящим в искусстве, ездил на просмотры в Дом кино. Дружил с Павлом Кадочниковым и Иосифом Хейфецем.
Война
В начале Великой Отечественной Войны Александр Мельников отказался ехать с «Ленфильмом» в эвакуацию и добровольцем ушёл на фронт. Окончив курсы усовершенствования политсостава запаса (КУПСЗ), воевал в качестве начальника клуба парашютного полка в Ессентуках, политрука ансамбля 59-й армии и инструктора ПО 777-й танковой бригады Волховского фронта, начальника клуба 2-й стрелковой дивизии и инструктора ПО Ленинградского фронта. Демобилизовавшись в декабре 1945 года, Александр Афанасьевич вернулся на «Ленфильм», но работать в качестве актёра не смог. Сказалась война – появились несвойственные ему до этого скованность и отрешённость.
Театр
В ноябре 1946 года Мельников по рекомендации провинциального актёра Шубина уехал работать в Смоленский областной драматический театр. Но работа в театре оказалась актёру не интересна, и уже в марте 1947 года он вернулся в Ленинград. В дальнейшем попробовал себя в различных сферах деятельности – был ассистентом режиссёра на Ленинградский студии научно-популярных фильмов, старшим инструктором Политотдела железнодорожной бригады в Барановичах, начальником офицерского клуба в Кандалакше.
Семья
Александр Мельников был женат на Елене Викторовне Терлецкой, бухгалтере киностудии «Ленфильм». Их дочь Марина окончила курсы телевизионных работников, работала старшим диспетчером на Ленинградском телевидении.
Похоронен Александр Афанасьевич на новом кладбище города Всеволожск Ленинградской области.