Участник Великой Отечественной войны.
В 1946 - 1950 гг. – чтец и ведущий ансамбля Балтийского флота.
В 1949 году Буренков поступил в Театральное училище имени Щепкина, которое окончил в 1954 году и сразу был принят в труппу Малого театра, в котором работал до конца жизни.
В кино актёр дебютировал в 1955 году ролью Медведева в музыкальной комедии Андрея Фролова "Гость с Кубани". Буренкова заметили, и он стал часто сниматься.
Первой значительной работой стала роль Фёдора Авдеева в драме Михаила Швейцера по повести Тендрякова "Тугой узел". Затем последовала драматическая роль Скворцова в фильме Константина Воинова "Трое вышли из леса".
Выигрышная внешность способствовала тому, что на экране он создавал, в первую очередь, положительных персонажей советской эпохи, его часто приглашали на исполнение бытовых ролей, в основном, военных и партийных начальников. Евгений Буренков сыграл маршала Василевского в нескольких военных фильмах.
Среди других ролей в кино: Корень ("Солнце светит всем"), Филимон ("Две жизни"), Вареха ("Огненные версты"), Борис Ваганов ("Леон Гаррос ищет друга"), Бородин ("Майор Вихрь"), Топорков ("Сердце Бонивура"), Баулин ("Вечный зов"), маршал Василевский ("Освобождение", "Солдаты свободы"), Андрей Николаевич ("Цыган"), Никифор Шкуратов ("От зимы до зимы").
Ушёл из жизни 19 апреля 1989 года. Похоронен на 93-м участке Долгопрудненского (Центрального) кладбища.
У актёра осталась дочь Галина.