Махмуд Эсамбаев родился 15 июля 1924 года в предгорном селении Старые Атаги (ныне Грозненский район Чеченской республики). Выходец из тейпа Ишхой. Махмуд Эсамбаев танцевал с раннего детства. В 7 лет он уже плясал на свадьбах, куда его брала с собой мать.
В 1939—1941 годах учился в Грозненском хореографическом училище. В 15 лет начал танцевать в Чечено-Ингушском государственном ансамбле песни и танца, в 19 лет — в Пятигорском театре музыкальной комедии. Так как юность Махмуда пришлась на годы Великой Отечественной войны, он танцевал во фронтовой концертной бригаде на передовой, на строительстве оборонительных сооружений, в военных госпиталях.
В 1944 году был депортирован. 1944—1946 годах руководил кружком народного танца и вёл уроки бального танца в доме культуры посёлка Ак-Тюз Кеминского района Чуйской области Киргизии.
В 1946—1956 годах Махмуд был солистом Киргизского театра оперы и балета в городе Фрунзе, где он исполнял главные партии в балетах «Лебединое озеро», «Бахчисарайский фонтан», «Спящая красавица».
В 1950-е годы Махмуд Эсамбаев оставил академическую сцену и обратился к народному танцу. С 1957 года — солист филармонии Чечено-Ингушской АССР. В 1959 году Эсамбаев выступил со своей программой в Москве, затем в составе труппы «Звёзды советского балета» посетил с гастролями Францию, Южную Америку, где имел грандиозный успех.
После зарубежных гастролей создал свой коллектив. Эсамбаев — создатель первой сольной танцевальной программы в СССР «Танцы народов мира». Исполнил огромное количество самых разнообразных танцев: «Чабан» (чечено-ингушский, узбекский), «Воин» (башкирский), «Золотой бог» (индийский), ритуальный «Танец огня» на музыку де Фальи, «Ла-коррида» (испанский), «Танец с ножами» (таджикский) и др.
Многие композиции он поставил себе сам, на сто пятьдесят процентов используя свой феноменальный от природы шаг, склонность к гротеску и редкого масштаба мужскую грацию. Выступая в одиночестве, Эсамбаев легко подчинял себе любую сценическую площадку, мастерски умел приковать к себе внимание и удержать его. Он создал авторский театр танца, в котором артисту не было и нет конкурентов. Зная законы эстрады, Эсамбаев выверял свои эффекты по секундомеру - и при этом захватывал невероятной силы экстазом. Все его номера становились шлягерами.
Эсамбаев избирался депутатом Верховных Советов Чечено-Ингушской АССР, РСФСР и СССР. Был президентом Международного союза деятелей эстрадного искусства, академиком Международной академии танца. При его активной поддержке в Грозном были построены новые здания драматического театра и цирка.
Махмуд Эсамбаев умер 7 января 2000 года на 76-м году жизни. Похоронен на Даниловском мусульманском кладбище в Москве. В 2001 году на Даниловском кладбище был торжественно открыт памятник Махмуду Эсамбаеву работы скульпторов А. и Н. Ковальчуков. Он представляет собой гранитный постамент, на котором выгравированы полумесяц и арабская молитва, и фигуру самого артиста с поднятой вверх рукой в хорошо всем знакомом характерном для него жесте.