Родился 23 марта 1910 года в Москве в семье знаменитого оперного певца Григория Пирогова (1885-1931) и Александры Пироговой (1888—1981).
Учился в Единой трудовой опытно-показательной школе № 10 МОНО имени Ф.Нансена (1919—1926). Увлёкся театром ещё в школе. Вместе с Леонидом Варпаховским, Марией Мироновой, Анатолием Кубацким он участвовал в школьной самодеятельности, и уже в те годы твердо решил стать актером.
В 1927-1929 продолжил свое обучение в Центральном техникуме театрального искусства.
С 1926 года — артист драматической труппы в Ногинске, а также артист Московского театра для детей под руководством Наталии Сац.
С 1931 по 1932 год и с 1934 года по 1936 год был артистом театра под руководством Ю. А. Завадского.
В 1932-1934 годы служил в Красной армии в качестве артиста-красноармейца Центрального театра Красной армии.
В 1936-1937 год артист Ростовского театра драмы.
Был артистом Центрального Дома Красной Армии имени М.В.Фрунзе.
С 1938 по 1941 год артист Московского театра Революции.
В 1942-1946 годах артист Ансамбля песни и пляски НКВД СССР.
В 1946-1953 годах артист Московского драматического театра имени Моссовета. По воспоминаниям коллег, о Леониде Григорьевиче часто говорила Фаина Раневская как об очень талантливом, но совершенно невостребованном актёре.
В 1953-1957 годы артист театра-студии Киноактера. В 1957-1968 годах артист киностудии «Мосфильм». С 1931 года артист Всесоюзного комитета по радиовещанию при СНК СССР. Унаследовав от отца превосходный бас, Леонид Пирогов участвовал в записи пластинок, озвучивал мультфильмы.
Умер 15 апреля 1968 года. Похоронен на втором участке Новодевичьего кладбища.