Александр Колкер родился в 1933 году, в Ленинграде. в 1950 году окончил музыкальную школу по классу скрипки, а в 1956 году — Ленинградский электротехнический институт (ныне Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет), во время обучения в котором занимался на семинарах начинающих композиторов Ленинграда и писал музыку к студенческим спектаклям. В интервью Татьяне Трубачевой, ведущей цикла "Радиоклуб «Досуг» программы «Пулковский меридиан» Радио России — Санкт-Петербург, А. Н. Колкер с юмором вспоминал о столь бурной творческой активности вне связи с научно-учебной деятельностью студентов тогдашнего ЛЭТИ, что она принесла вузу такую неофициальную расшифровку аббревиатуры его названия, как «Ленинградский эстрадно-театральный институт с лёгким электротехническим уклоном». По окончании института получил распределение в заводскую лабораторию, где и начал трудовую деятельность.
С 1958 года становится профессиональным композитором. Большинство песен написано в соавторстве с Кимом Рыжовым и исполнено супругой композитора Марией Пахоменко. Песни Колкера вошли в репертуар Лидии Клемент, Майи Кристалинской, Эдуарда Хиля, Иосифа Кобзона, Муслима Магомаева и других известных исполнителей эстрадного жанра.
Александр Колкер является автором свыше 100 песен, таких как "Туман", "Дождик", "Парень с Петроградской стороны", "Карелия", "Качает, качает", "Стоят девчонки", "Опять плывут куда-то корабли", "Зависть", "Чудо-кони", "Признание" и др.
Первой исполнительницей многих песен Колкера стала жена композитора, народная артистка России Мария Пахоменко. Всесоюзную известность Пахоменко принесла песня Колкера "Качает, качает" к спектаклю "Иду на грозу", записанная в 1963 году. Также она исполняла ставшие знаменитыми песни Колкера "Подсолнухи", "Любовь останется", "Стоят девчонки".
Колкер — автор мюзиклов, музыки более чем к 30 спектаклям, музыки к кинофильмам. Одними из лучших произведений Колкера для музыкального театра считаются музыкальная трилогия "Свадьба Кречинского", "Дело", "Смерть Тарелкина" по мотивам пьес Александра Сухово-Кобылина, мюзиклы "Труффальдино из Бергамо", "Трое в лодке, не считая собаки", "Ловите миг удачи", "Неизвестный с хвостом", "Сказка про Емелю", рок-мюзикл "Овод". Произведения Колкера для музыкального театра были поставлены во многих городах России, в Болгарии, Польше, Германии, Чехии, Финляндии.
Александр Наумович — лауреат премии Ленинского комсомола, Заслуженный деятель искусств РСФСР. В 2009 году Колкер стал лауреатом Национальной премии «Музыкальное сердце театра» в номинации «Лучшая музыка (композитор)» за спектакль «Гадюка», поставленный по мотивам рассказа Алексея Толстого Новосибирским театром музыкальной комедии.
Звание Почётного гражданина Республики Карелия присвоено Александру Колкеру за создание песни «Карелия».
Автор книги «Лифт вниз не поднимает!».
Семья
Жена — певица Мария Пахоменко. Была основным исполнителем песен А. Колкера. Скончалась в 2013 году.
Дочь — Наталья Пахоменко, режиссёр и сценарист. Внучка — Мария Пахоменко-младшая. Все проживают в Санкт-Петербурге.