Джун Стори родилась 20 апреля 1918 года в Торонто, и в юности вместе с семьей переехала в Соединенные Штаты, поселившись сначала в Коннектикуте, а затем в Калифорнии.
Прелестная девушка привлекла внимание компании «Fox Film Corporation», и в 1934 году дебютировала в роли студентки в мюзикле Чарльза Райснера «Student Tour», не попав в титры. Первой же «полноценной» ролью для нее стала роль Греты в мелодраме Ирвинга Каммингса «Girls' Dormitory» с Хербертом Маршаллом. В период с 1935-го по 1938-й Стори сыграла еще в семи фильмах.
Первым из них был боевик Генри Кинга «В старом Чикаго» (In Old Chicago), где актриса представлена в образе Гретхен О' Лири. После трех фильмов без упоминания ее имени в титрах, Стори снялась в одной из главных ролей в криминальной драме «Island in the Sky», комедии «Orphans of the Street» и картине «Down in Arkansas». Подписав контракт с компанией «Republic Pictures», Джун стала наиболее известна как героиня десяти фильмов с Джином Отри, в которых она сыграла в период с 1939-го по 1940-й. Первыми из этой десятки стали вестерны «South of the Border», «Colorado Sunset» и «Голубые небеса Монтаны» (Blue Montana Skies), все три 1939 года.
Часто вместе с Джун Стори снималась Мэри Ли, которая играла роли ее младшей сестры. Однако карьера актрисы значительно пострадала, когда Отри был призван в армию в ходе Второй мировой войны. В 1940-х Стори довольствовалась несколькими эпизодическими ролями, а затем оставила профессию и вышла замуж. Последней ее ролью с зачислением в титры стала сыгранная ей героиня Роуз Пенделтон в комедии Гленна Трайона «Miss Mink of 1949». В общей сложности, в копилке актрисы 41 фильм.
Вместе со своим мужем Джун переехала в штат Орегон, где они растили своих детей. В 1950-м она попала в серьезную автомобильную аварию, но выкарабкалась. Затем Стори стала медсестрой, развелась с первым мужем и вышла за второго, Линкольна Кларка. Она получила американское гражданство, и посвятила большую часть жизни благотворительной деятельности. В 1980-х Джун участвовала в ряде западных кинофестивалей.
Джун Стори умерла от рака 18-го декабря 1991-го, в Висте, штат Калифорния.