Отец будущего артиста, Александр Федорович Приселков - участник Великой Отечественной войны, сапер по военной специальности, ни разу не совершивший ошибки, в мирное время был строителем, командиром производства по капитальному и промышленному строительству, и это во многом благодаря усилиям Александра Федоровича станица Крымская выросла до статуса города.
Известно также, что его дед по отцовской линии в "царские" времена был директором гимназии в Белостоке, а бабушка, Наталья Митрофановна, преподавала детям иностранные языки и музыку.
Мама Сергея Приселкова, Вера Константиновна Дидура - потомственная кубанская казачка.
В семье были еще дети - старшая сестра Надежда и брат Владимир - поэтому мама Вера Константиновна вела домашнее хозяйство Приселковых. Мать гордилась природной физической силой младшенького. Когда Сергею было всего шестнадцать лет и он принес домой на своих плечах целый мешок картошки мама очень хвалила его.
В 1952 году семья Приселковых переехала в Москву, на новое место работы отца, который после успеха в Крымске был назначен на должность начальника всесоюзного управления по капитальному строительству.
В Москве Сергей Приселков закончил одиннадцать классов средней школы. Во время учебы в школе посещал театральную студию при Ждановском Дворце Пионеров и с легкой руки отца решил поступать в Щукинское театральное училище при театре Вахтангова. А затем (1965-1969) – Вахтанговское училище театра и кинематографии. Его лучшие педагоги -- А.И.Борисов, В.К.Львов, Т.И.Запорожец. Сокурсники - Нина Русланова, Леонид Филатов, Владимир Кочан, Иван Дыховичный, Александр Кайдановский.
В 1966 году Приселков женился. Жена – Наталья Сергеевна (девичья фамилия Шабанова), театровед, закончила ГИТИС, руководитель театральной студии в Монреале. Одна из последних работ студии, запомнившаяся зрителям, - «Про Федота-стрельца» по сказке Леонида Филатова.
Сын Сергея Александровича - тоже артист, 1967 года рождения, назван Александром в честь деда-воина и строителя.
Будучи студентом, Сергей одновременно с учебой начал выступать на сцене театра на Малой Бронной (1969-1972).
С 1972 года по 1987 он являлся актером театра имени Ермоловой в Москве.
В общей сложности сыграл на сцене более пятидесяти различных ролей в спектаклях и театральных постановках.
В 1974 году, двадцати семи лет отроду, был призван в ряды Советской Армии и отслужил в ее рядах десять месяцев.
В 1976 году за исполнение главной роли в спектакле «Черемуха» по Виктору Астафьеву получил Гран-приз зрительских симпатий "Золотая маска". В этом своеобразном соревновании были так же награждены такие замечательные артисты, как Олег Ефремов, Армен Джигарханян, Юрий Яковлев, Игорь Ильинский.
В 1986 году С.А.Приселкову присвоено почетное звание Заслуженного артиста РСФСР.
В 1987 году перешел на работу в Московскую государственную филармонию, что дало возможность концертировать по всей стране и одновременно сниматься в кино.
С 1991 года жил и работал в Израиле, с 1999 года - в Канаде.
Сергей Александрович скончался 10 августа 2013 года в Монреале (Канада).