Артур Иванов в детстве не стремился быть актером, его увлечением была музыка. После школы Артур Иванов поступил в автомеханическое училище, но вскоре стал студентом Высшего театрального училища им. Б.В. Щукина, он был принят на курс В.В. Иванова. Как и его однокурсники, вскоре начал пробовать свои силы на сцене в массовках и эпизодических ролях.
По окончании учебы Артур Иванов был принят в труппу Московского академического театра им. Евгения Вахтангова. Артур довольно быстро завоевал признание и любовь зрителей и начал получать в спектаклях ведущие роли: Астрова в «Дяде Ване», Квартального в постановке «За двумя зайцами», Шохина в спектакле «Люди как люди», Полковника Альфреда Шато-Жибюса в «Мадемуазели Нитуш», Тюремщика в «Мере за меру», и других.
Сниматься в кино начал еще во время учебы, в 2005-2006 годах. Первая работа была в сериале «Люба, дети и завод…». Затем Артур Иванов сыграл в фильме «Стиляги», в детективе «Кодекс чести-4», Артуру Иванову режиссеры часто доверяют роли знаковых персонажей. Так, в исторической мелодраме «Тайны института благородных девиц» исполнил роль генерала Скобелева. В документальном фильме «Романовы» Артур Иванов сыграл роль реформатора Петра I, затем снялся в картине «Раскол» о расколе русской православной церкви в XVII веке. В сериале «Тихий Дон» Сергей Урсуляк доверил Артуру Иванову роль Петра Мелехова.