Женат, имеет сына.
Образование
Первый актёрский опыт Алексей Морозов приобрёл во втором классе, сыграв главную роль мальчика Франческо в телеспектакле «Путешествие Голубой стрелы» в постановке известного питерского телережиссёра Валерия Саруханова. В 14 лет прошел кастинг в театральную студию «Вообрази» при петербургском телевидении. Это определило выбор дальнейшей карьеры. Он поступает в Санкт-Петербургскую Государственную Академию театрального искусства в мастерскую В. М. Фильштинского по специальности «Актер театра и кино».
Театр
После окончания Санкт-Петербургской Государственной Академии, в 2001 году, был приглашен в труппу МДТ — театра Европы, где сразу ввелся на роли в легендарных спектаклях театра - "Gaudeamus" и "Клаустрофобия".
Позже сменил деятельность — несколько лет работал в области связей с общественностью в Петербурге и Москве.
В 2006 году вернулся в Санкт-Петербург по приглашению Льва Додина в МДТ — театр Европы на роль Шута в спектакль «Король Лир» в очередь с Алексеем Девотченко. В настоящее время Алексей Морозов - один из ведущих молодых артистов труппы. Также сотрудничает с театром "Приют комедианта".
Кино
Сыграл несколько главных ролей в полнометражных картинах и художественных телевизионных фильмах.
Телевидение
С 2002 по 2004 год Алексей Морозов вёл телевизионную версию журнала «Неприкосновенный запас» издательства «Новое литературное обозрение» на канале РЕН ТВ (петербургское вещание).
В 2003 году выступил в роли соведущего цикла программ «Есть упоение в бою…» об истории российских дуэлей и карточных игр на телеканале «Культура» совместно с актером Игорем Ботвиным.
С сентября 2011 года ведущий телевизионной программы «Заповедная область с Алексеем Морозовым» на телеканале «Россия-Петербург». Передача рассказывает о природных и исторических достопримечательностях Ленинградской области.
Музыка
Окончил музыкальную школу по классу фортепиано под руководством педагога Галины Вадимовны Кузьминой. Играет на музыкальных инструментах: фортепиано, гитара, тромбон, ударные. А после поступления в театральный институт на курс Вениамина Михайловича Фильштинского, вместе с другом Антоном Коробейко создали группу «Простые вещи». Группа выпустила дебютный диск на студии Андрея Тропило. Но позже театр все-таки пересилил музыкальные интересы, и группа распалась.
Пишет песни с 1997 г. Солист группы «Дождь». Группа «Дождь» возникла как творческий союз Алексея Морозова и поэта Алексея Куличева.