В 1953 году окончил актёрский факультет, в 1959 году — режиссёрский факультет Киевского государственного института театрального искусства имени И. К. Карпенко-Карого.
В 1953—1956 годах — актёр Театра Юного Зрителя в Николаеве.
С 1960 г. — режиссёр киностудии «Киевнаучфильм». С 1973 г. — худ. рук. мастерской научного кино Киевского государственного института театрального искусства имени И. К. Карпенко-Карого.
В середине 1960-х годов Феликс Соболев существенно изменил представление о научно-популярном кинематографе. Фильмы Соболева «Язык животных», «Думают ли животные», «Семь шагов за горизонт» становились зрительской сенсацией, собирали полные залы в кинотеатрах. Одно из творческих открытий Соболева — «киноэксперимент» или «эксперимент в кадре»: режиссёр делал зрителя свидетелем поставленного учеными научного эксперимента. Так был сделан радикальный для своего времени фильм «Я и другие», который рассказал о конформном поведении и феномене группового давления.
Короткометражный фильм «Биосфера! Час осознания» — киноэссе o мире и месте человека в этом мире, обозначил новое направление в творчестве режиссёра — поиск трансцендентного визуального образа. Десятиминутная лента «Подвиг» была сделана в близкой эстетике.
Оба фильма были сняты с интенсивным применением комбинированных съёмок и оказали значительное влияние на развитие неигрового кино в своё время.
Режиссёр артистического темперамента и высокой требовательности к себе и к членам съемочной группы, Феликс Соболев оказал влияние не только на своих студентов в институте театрально искусства, среди которых — Александр Роднянский, но и на молодых режиссёров, работавших на студии «Киевнаучфильм» в семидесятые — восьмидесятые годы: Анaтолий Борсюк, Виктор Олендер, Йосиф Пастернак, Андрей Загданский.
Феликс Соболев скоропостижно скончался 20 апреля 1984 года.
В 1998 году Виктор Олендер снял 10-серийный документальный фильм «Феликс Соболев. Прерванная миссия» о творчестве своего учителя. Фильм был показан на украинском телеканале 1+1.