Эндрюс родился в Лондоне, он сын танцовщицы Джеральдин Агнес (урождённая Купер) и музыкального аранжировщика Стэнли Томаса Эндрюса. Актёр вырос в районе Лондона — в Северном Финчли. В возрасте восьми лет состоялся его ??сценический дебют в качестве Белого кролика в адаптации Алисы в стране чудес Льюиса Кэрролла.
Лауреат премий «Золотой глобус» (1983) и BAFTA-TV (1982), номинант на премию «Эмми» (1982).
Энтони Эндрюс с 1971 года женат на Джорджине Симпсон, у них трое детей.