Учился в школе Малого театра, с 1922 года – в школе МХАТа, с 1924 года – актёр этого театра. Начал с вводов: Красильников в «Царе Фёдоре Иоанновиче» А.К.Толстого; Алёшка в «На дне» М.Горького; лакей Дмитрий в «Смерти Пазухина» М.Е.Салтыкова-Щедрина. Продолжая традиции И.М.Москвина, М.М.Тарханова, Блинников в своём творчестве играл варианты русского национального характера в его крайностях. Бытовая достоверность соединялась в его образах с резкостью и яркостью красок, мастерством «подачи слова».
Преданный одному театру, он сыграл на сцене МХАТа 59 ролей – преимущественно, бытового и комедийного плана, окрашивая их яркой характерностью и любопытными, точными деталями. Был первым исполнителем ролей Афоньки («Пугачёвщина» К.А.Тренёва, 1925), Цыганка («В людях» по М.Горькому, 1933), Иова Троттера («Пиквикский клуб» по Ч.Диккенсу, 1934), Федота («Земля» Н.Вирты, 1937), Восмибратова («Лес» А.Н.Островского, 1948), Кондратьева («Зелёная улица» Сурова, 1948), Бессемёнова («Мещане» М.Горького, 1949), Шамраева («Чайка» А.П.Чехова, 1960), Македона Сома («Над Днепром» Н.Е.Корнейчука, 1961), Симонюка («Свет далёкой звезды» А.Чаковского и П.Павловского, 1964), Осипа («Ревизор» Н.В.Гоголя, 1967) и другие.
Яркий бытовой актёр Блинников достигал большой эмоциональной силы в образах классического репертуара, давая новую трактовку ролям, до него не раз игранным разными исполнителями: Луп-Клешнин («Царь Фёдор Иоаннович», 1935), Прокофий Пазухин («Смерть Пазухина», 1939), Курослепов («Горячее сердце» Островского, 1941), Бубнов («На дне», 1944), Собакевич («Мёртвые души» по Гоголю, 1945).
Иногда выступал и как режиссёр: «Мещане» (совм. с М.Н.Кедровым и И.М.Раевским, 1949), «Вторая любовь» по Мальцеву (с В.Я.Станицыным, 1950; Сталинская премия, 1951), «Над Днепром» (с М.Н.Кедровым и И.М.Раевским, 1961). Самостоятельно поставил «Сердце не прощает» А.Софронова (1954).
Сергей Блинников сыграл знаменитые роли в фильмах: «Солдат Иван Бровкин» (Коротеев), «Девушка с гитарой» (Федосов), «Трембита» (Сазонов). Среди других фильмов с его участием: «Александр Невский» (воевода Твердило), «Поднятая целина» (1939, Банник), «Как поссорились Иван Иванович с Иваном Никифоровичем» (1941, Иван Никифорович), «Кутузов» (1943, Платов), «Большая земля» (Приходько), «Третий удар» (генерал Захаров), «Падение Берлина» (маршал Конев), «На дне» (Бубнов), «Поединок» (Лех), «Слепой музыкант» (Ставрученко), «Девять дней одного года» (директор института), «Две жизни» (министр), «Теперь пусть уходит» (Бистон), «Непоседы» (Николай Иванович) и другие.
С 1945 по 1959 годы преподавал в Школе-студии имени В.И.Немировича-Данченко при МХАТе. Сергея Капитоновича студенты, шутя, называли «Блин». Зрители узнавали любимого актёра по знаменитой лысине. С виду грозный и вечно хмурый, в жизни он был человеком добрым и щедрым.
Блинников был женат на актрисе МХАТа Анне Коломийцевой (1898-1976), с которой снялся в дилогии об Иване Бровкине и в фильме «Разные судьбы».
Сергей Капитонович Блинников умер 29 сентября 1969 года, в возрасте 68 лет. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.