Меликян, выпускница ВГИК и ученица Сергея Соловьева, получила известность благодаря короткометражным фильмам «До востребования», «Контрабас», «Andante» и «Полетели».
В 1999 в качестве курсовой работы был снят фильм «Полетели» с Нелли Уваровой в главной роли. Снятый в 2000 году короткометражный фильм «До востребования» куплен музеями кино Рима и Мельбурна.
Первым полнометражным фильмом стал «Марс», премьера которого состоялась в 2004 году на Берлинском кинофестивале. Второй полнометражный фильм «Русалка» в 2008-м году был номинантом от России на Оскар.
Американский журнал Variety включил Меликян в десятку самых перспективных режиссёров мира.
Анна создала кинокомпанию «Магнум», которая занимается производством фильмов и телесериалов, а также поиском и продюсированием новых талантов.
1995—1997 — Автор и режиссёр на телевидении, автор сценариев в рекламном агентстве, ассистент режиссёра Евгения Гинзбурга на Новогодних Огоньках и различных музыкальных телевизионных шоу-программах.
1998 — Режиссёр-постановщик церемоний открытия и закрытия Московского Международного кинофестиваля.
2001 — Проходила практику в кинокомпаниях Германии по приглашению немецкого института им. Гете.
С 2001 г. — член Союза Кинематографистов России.
2002 — Окончила факультет режиссуры игрового кино ВГИКа (мастерская С. Соловьева, В. Рубинчика).
2002 — Режиссёр ТВ- программы «Точка опоры» (канал «ТВЦ»).
2002—2003 — Режиссёр программы «Путеводитель» (канал «ТВС»).
2003 — Режиссёр программы «Посольский двор» (канал «ТВС»).
2004—2005 — режиссёр программы «Дачники» (канал «НТВ»).