После окончания школы работал на ЗИЛе фрезеровщиком, одновременно учился в заводском училище. Параллельно Александр занимался спортом: выступал в сборной района по спортивной гимнастике. Потом стал заниматься боксом, дзюдо, самбо. В 1970-е годы Александр занялся карате и стал первым абсолютным чемпионом Москвы.
С 1976 года Александр Иншаков стал работать каскадёром на «Мосфильме». Снимался он преимущественно в боевиках. Так он был каскадером в таких фильмах как Делай - раз! (1990); Частный детектив или операция "Кооперация" (1989), Холодное лето пятьдесят третьего... (1987), Плюмбум, или Опасная игра (1986), Тегеран-43 (1980), Взлет (1979), Санта Эсперанса (1979) и тд.
Постепенно он переквалифицировался на постановщика трюков. Первой его большой работой стала постановка трюков в фильме Михаила Туманишвили «Ответный ход», где были задействована каскадерская группа в 40 человек.
В 80-е годы Иншаков начал периодически сниматься в эпизодах («Одиночное плавание», «Случай в квадрате 36-80», «Без особого риска» и др.). Однако долгое время этим дело и ограничивалось. Первую свою большую роль Александр Иншаков сыграл в 1992 году в боевике Андрея Андронникова «Крысиный угол». В 1995 году он появился в главной роли в картине Михаила Туманишвили «Крестоносец».
Параллельно Иншаков продолжает оставаться постановщиком трюков, а последнее время занялся и продюсерской деятельностью. При его руководстве были поставлены фильмы «Незнакомое оружие, или крестоносец-2», «Рыцарский роман» и сериал «Бригада», в которых он также снялся и как актёр.
На сегодняшний день Александр Иншаков является Президентом Ассоциации каскадёров России. Кроме этого он имеет следующие должности: Генеральный секретарь Национальной федерации каратэ России; Президент Международного Совета по абсолютным поединкам; Президент Российской кинологической федерации; Президент Фонда развития национальных единоборств.
Так же он создал фитнес - клуб "ТАТАМИ", в котором является руководителем. Сам он имеет пятый дан по каратэ.
Супруга — Терентьева Марина Леонидовна 1965 г. р.