В 1967 году окончил Высшее Театральное училище имени М.С. Щепкина (курс Николая Анненкова) и поступил в труппу театра имени Ленинского комсомола, где за 7 лет сыграл два десятка ролей классического и современного репертуара, в том числе Евдокимова в «104 страницах про любовь» Эдварда Радзинского.
С 1974 года — актёр Малого театра. Среди сыгранных им ролей — Иван Петрович («Униженные и оскорблённые»), Молчалин («Горе от ума»), Дон Мильчор («Ревнивая к себе самой»), Каренин («Живой труп»), Стахов («Накануне»), Миловзоров («Без вины виноватые»), Терамен («Федра»), Полоний («Убийство Гонзаго»), Великатов («Таланты и поклонники»), Дружина Морозов («Князь Серебряный»), Юровский («...И аз воздам»), Беркутов («Волки и овцы»), Сказочник («Снежная королева»), Гватинара («Тайны Мадридского двора»), Пётр III («Хроника дворцового переворота»), Мартин Чисхольм («Как скрыть убийство») и многие другие.
В каждой работе Н.А.Верещенко отразилась яркая творческая индивидуальность артиста, его сценическое обаяние, темперамент и фантазия, умение оригинально мыслить и глубоко проникать в психологию своих персонажей.
Работу в театре Николай Алексеевич успешно сочетал с преподавательской деятельностью в училище им. М.С.Щепкина. Был заведующим труппы Малого театра, занимался речью с дикторами на телевидении. Его ученики с успехом работают во многих театрах России.
Николай Алексеевич скончался за три недели до своего 60-летия. Похоронен актёр 7 февраля 2004 года на Хованском (Центральном) кладбище Москвы.