По политическим мотивам семья была вынуждена бежать из страны и на положении политэмигрантов осесть в Советском Союзе.
Окончил среднюю школу в городе Ташкенте и Всесоюзный государственный институт кинематографии (1962, курс Григория Козинцева). Работал в экспериментальном театре пантомимы «Эктемим» под руководством Александра Румнева и в Театре-студии киноактёра.
В кино начал сниматься на последнем курсе института. В фильме режиссёра Михаила Калика «Человек идёт за солнцем» он сыграл небольшую роль молодого рабочего с прирождённым музыкальным талантом. Так как Совчис говорил с акцентом, то впоследствии его всегда приглашали на небольшие роли и эпизоды, но он всегда их исполнял очень ярко и интересно.
Пик активности пришёлся на 1960-е — 1970-е годы. Среди наиболее заметных работ: Герка («Где ты теперь, Максим?»), Сашко («Эскадра уходит на запад»), филёр («Опасные гастроли»), Сотирис («На углу Арбата и улицы Бубулинас»), Волк («Честное волшебное»), главный пушкарь («На помощь, братцы!»).
Был женат на актрисе Тамаре Дмитриевне Совчи (в девичестве Якименко).
Дочь Мария с отличием окончила медицинскую академию, живет и работает за границей.
Георгиос Совчис ушел из жизни 10 мая 1996 года. Похоронен на Хованском кладбище в Москве.