Родился в семье профессора МИИТа, дворянина. В 1922-1925 гг. студент Высших театральных мастерских Малого театра.
С 1 сентября 1922 года – во вспомогательном составе труппы Малого театра, в 1926 году переведен в основной. Велихов играл в разных пьесах, имел дело с литературным материалом разного художественного уровня. Характерный актер, он стремился постигнуть особенности изображаемого типа, проникнуть в зерно его характера и дать ему яркое и оригинальное выражение.
В качестве режиссера поставил спектакли «За Камой-рекой» В. Тихонова, «Минувшие годы» Н.Погодина.
Последние годы своей жизни он был тяжело болен. Евгений Павлович ушел из жизни 18 октября 1977 года. Похоронен в Москве на Ваганьковском кладбище.