По окончании восьмилетки Гитин два года учился в ремесленном училище при автозаводе имени Лихачева. Затем на протяжении десяти лет работал фрезеровщиком, шофером и слесарем.
В 1962 году Борис Гитин поступил на вечернее актерское отделение театрального училища имени Щукина, на курс Марьи Рубеновны Тер-Захаровой. Учась на третьем курсе, впервые снялся в кино в эпизодической роли солдата в военном фильме Андрея Смирнова и Бориса Яшина «Пядь земли», обратив на себя внимание как режиссеров, так и зрителей.
По окончании в 1966 году Щукинского училища Борис Петрович был принят в Центральный Детский Театр, где служил один сезон. Работая там, параллельно был много занят в кино, которое, в итоге, и стало его главным призванием. Он покинул театр и почти на тридцать лет связал свою жизнь с этим видом искусства.
Кого бы ни играл Гитин, во всех его персонажах присутствовали мягкость и интеллигентность, душевная доброта. Среди ярких фильмов с участием актера: «Время, вперед!» (рабочий), «Три дня Виктора Чернышева» (Тарасов), «Годен к нестроевой» (ефрейтор Фомин), «Мой папа – капитан» («Лимонад»), «Счастливый человек» (Иван), «Офицеры» (дежурный по училищу), «Облака» (Петька), «Юнга Северного Флота» (Котелевский), «Горожане» (сотрудник ГАИ), «Поговорим, брат» (Соболь), «У матросов нет вопросов» (начальник аэропорта), «Любовью за любовь» (Булава), «Мы из джаза» (член комиссии), «Француз» (почтальон дядя Костя).
С развалом отечественного кино в середине девяностых Гитин ушел в тень. Последние годы он вел замкнутый образ жизни и не общался ни с кем из коллег. О своем кинематографическом прошлом он вспоминать не любил. Более десяти лет проработал швейцаром в одном из дорогих столичных отелей.
Скончался 14 апреля 2011 года после тяжёлой болезни. Похоронен в Москве на Николо-Архангельском кладбище.