В 1966 году окончила Театральное училище им. Щукина, курс М.Р. Тер-Захаровой.
С 1966 года по настоящее время Инна Алабина является актрисой Театра им. Евг. Вахтангова. Первоначально выступала как травести. Играла Гека Финна, Тома Сойера в «Приключениях Гекльберри Финна», Беспризорника в «Конармии», Пятачка в спектакле «Винни-Пух и все-все-все», Солдатика в «Планете надежды», Антона в «Иркутской истории» и многие другие подобные роли.
Шло время, актриса набиралась опыта, сотрудничая с известными режиссерами. В ее репертуаре появлялись новые работы. Инна Алабина играла Цыганку в «Живом трупе», Матрену-кухарку в «Женитьбе Бальзаминова», Зелиму, Цанни в «Принцессе Турандот», Швею, Ангела в «Мистерии-Буфф».
Несмотря на то, что эти роли были второстепенными, талантливой актрисе удавалось настолько наполнить их жизнью, что на сцене они превращались в запоминающиеся и значимые.
В настоящее время Инна Алабина задействована в постановках Театра им. Евг.Вахтангова «Дядюшкин сон», «Дядя Ваня», «Берег женщин», «Медея», «За двумя зайцами», «Последние луны» и других.
Отдельно стоит отметить участие актрисы в спектакле «Берег женщин» - оригинальном проекте Вахтанговского театра, где артисты выступают без слов, лишь танцуя под песни Марлен Дитрих.
Работала на радио - соведущая программы «Здравствуй, товарищ!».