Выросла в театральной семье. Ее дедушка, Владимир Калмыков, народный артист России, работал в Российском академическом молодежном театре (РАМТ). Бабушка Галина Сергеевна Суворова тоже была актрисой. Мама Дарьи Наталья Калмыкова - театровед. Отец Константин Мелик-Авакян - кинорежиссер, бывший директор Студии документальных фильмов.
Дарья Калмыкова окончила Школу-студию МХАТ (курс Р. Козака и Д. Брусникина) в 2003 году и была принята в труппу театра-студии п/р О. Табакова.
В Художественном театре дебютировала в спектакле «Кабала святош» М. Булгакова в роли Арманды Бежар.
Была замужем за актером Александром Моховым. У бывших супругов есть сын Макар.