Окончил МВТУ им. Баумана, по профессии – инженер-конструктор. Вполне может быть отнесен к той группе детей, которые выросли за кадром. В четыре года пробовал свои силы в программе "Это вы можете", в пять осваивал съемочное пространство телевизионных хитов тех лет "А ну-ка, парни!" и "А ну-ка, девушки!", в 10 лет впервые попал в святая святых программы "Что? Где? Когда?" — в еe дикторскую, а в 12 лет придумал своё первое правило для этой игры.
Еще студентом начал работать на программе "Что? Где? Когда?". Был ассистентом режиссера, режиссером, автором, музыкальным редактором. И правой рукой создателя программы Владимира Ворошилова, поскольку в течение 10 лет во время каждого прямого эфира программы "Что? Где? Когда?" работал рядом с ним в дикторской.
В 1989 году после окончания института был зачислен на должность режиссера в штат Молодежной редакции Центрального телевидения, а затем в штат Телекомпании "Игра" в качестве первого заместителя генерального директора.
С мая 2001 года Борис Крюк — автор, ведущий, режиссёр и продюсер игры «Что? Где? Когда?». Он также является вице-президентом Международной ассоциации клубов «Что? Где? Когда?».
Параллельно с работой над программой "Что? Где? Когда?" участвовал в разработке и осуществлении различных проектов Телекомпании "Игра". В том числе с 1990 по 1993 год был автором и режиссером-постановщиком программы "Брэйн-ринг". С 1991 по 1998 год вел программу "Любовь с первого взгляда" и, как тогда писали, "стал одним из самых ироничных ведущих самого романтического шоу". С 1993 года работал над программой "Любовь с первого взгляда" и в качестве режиссера-постановщика.
С детства увлекается спортивными играми. Сегодня знает о футболе всё. Считает, что это давнее увлечение помогает ему развивать и модернизировать телевизионную игру "Что? Где? Когда?".
Дважды номинирован на премию "ТЭФИ". Вице-президент Международной Ассоциации Клубов "ЧГК".
Борис Крюк женат, его супруга — Анна Антонюк. У ведущего двое детей от первого брака (сын Михаил и дочь Александра), и двое от второго (Александра и Варвара).