Ранние годы
Лицедействовать начал ещё в детстве, когда по собственному признанию, развлекал своих друзей пародиями на Бурвиля.
Клод Риш записался на актёрские курсы Шарля Дюллена вопреки желанию родителей, которые хотели, чтобы он стал страховым агентом. После курсов Дюллена он с лёгкостью поступил в Консерваторию.
Окончив её с отличием, он поступил в 1953 году в Театр Ренессанса и начал работать в спектакле «La Corde».
Карьера
Кинодебют актёра состоялся в фильме Рене Клера «Большие маневры». До начала 60-х годов Риш был занят в ролях второго плана, пока Жан Ренуар не доверил ему крупную роль в фильме «Пришпиленный капрал», где его партнёрами по съёмкам стали такие молодые звёзды, как Жан-Пьер Кассель и Клод Брассёр.
В 1963 году Клод Риш был приглашён Жоржем Лотнером в картину «Дядюшки-гангстеры». После были работы «Нынче вечером или никогда» Мишеля Девиля, «Дьявол и десять заповедей» Жюльена Дювивье, «Соратники маргаритки» Жан-Пьера Моки.
В то же время Риш продолжал играть и в театральных постановках, в том числе и по собственным пьесам.
В 80-е годы актёр стал избирательнее относиться к предложениям и в 1992 году получил премию «Сезар» за роль в картине «Ужин» Эдуара Молинаро.
Далее роли второго плана стали основными в его кинобиографии. Он появлялся в «Дочери д’Артаньяна», «Рождественском пироге», в «Астериксе и Обеликсе: миссия Клеопатра» и в других фильмах.
В 2008 году за работу в фильме «На Бога надейся, а сам не плошай» актёр вновь номинировался на «Сезар».
Личная жизнь
С 1959 года актёр женат на актрисе Катрин Ренодан и имеет от неё двоих дочерей: Дельфин Риш (которая тоже стала актрисой) и Натали.