Родился 21 декабря 1937 года в Ленинграде (Санкт-Петербурге).
В 1955—1956 г.г. — механик съемочной аппаратуры на киностудии «Ленфильм», в 1958—1960 г.г. — режиссер Центрального телевидения, в 1960—1963 г.г. — ЦСДФ и Ленинградской студии кинохроники.
В 1960—1963 гг. работал на Центральной и Ленинградской студиях документальных фильмов, снимал хроникальные фильмы: "Георгий Седов", "Эдуардо", "Инна", "Маринино житье".
В 1962 году окончил режиссерский факультет ВГИКа (мастерская И. Копалина, Г. Козинцева).
В 1963 году Леонид Квинихидзе стал режиссером киностудии «Ленфильм», а с 1977 года работал на «Мосфильме».
В художественном кино режиссер дебютировал в 1965 году фильмом «Первый посетитель».
Наибольшую известность режиссеру принесли его музыкальные фильмы: "Соломенная шляпка", "Небесные ласточки", "31 июня", "Мэри Поппинс, до свидания!", "Орех-кракатук", "Шляпа" и т.д.
Был главным режиссером и художественным руководителем Московского государственного театра «Мюзик-холл», с 1999 года - режиссером Одесского театра музыкальной комедии, потом в 2000- 2002 годы руководил Крымским украинским музыкально-драматическим театром, с 2003 по 2006 год был режиссером в Новосибирском театре музкомедии.
С 2006-2008 годы — главный режиссер Санкт-Петербургского государственного музыкального театра "Карамболь", в 2010-2011 - гл.режиссер Хабаровского краевого музыкального театра.