В 1956 году окончил режиссёрский факультет ВГИКа, где учился в мастерской Григория Александрова и Михаила Чиаурели. Его дипломной работой стала картина "Дым в лесу" (по А.П. Гайдару). Некоторое время режиссёр работал на телевидении, где снял около тридцати телеочерков. Член КПСС с 1956 года.
В 1958 году он пришёл на киностудию "Мосфильм", где состоялся его дебют в полнометражном игровом кино. И уже первая комедия Юрия Чулюкина — фильм "Неподдающиеся" (1959), в которой главные роли сыграли Надежда Румянцева, Юрий Белов и Алексей Кожевников, — завоевала огромную популярность у зрителей.
На долю следующей его ленты, комедии "Девчата" (1961) выпал ещё больший успех. Фильм считается лучшей режиссёрской работой Чулюкина, а роль Тони Кислицыной стала одной из запоминающихся у Надежды Румянцевой.
В дальнейшем режиссёр пробовал себя в самых разных жанрах: он снимал спортивную и музыкальную комедии — "Королевская регата" (1966) и "Не хочу быть взрослым" (1982), ставил картину о цирке "Король манежа" (1969), — творческими удачами они не стали.
Особое место в творчестве Чулюкина составляют военно-патриотические фильмы — "Р.В.С." (он выступил в качестве сценариста и художественного руководителя), "Юнга со шхуны `Колумб`" (1963), "На пути в Берлин" (1969), "И на Тихом океане" (1973).
Высокую официальную оценку получил фильм, посвящённый подвигу генерала Д. Карбышева — "Родины солдат" (1975), отмеченный в 1976 году Серебряной медалью имени А.П. Довженко. Событиям гражданской войны на Дальнем Востоке посвящён фильм "Поговорим, брат!" (1979).
Юрий Чулюкин не раз выступал как сценарист, автор песен и даже актёр, с 1982 года он преподавал во ВГИКе. Последним фильмом режиссёра стала картина "Микка из Тампере просит совета" (1986).
Был женат (1957-1966) на актрисе Наталье Кустинской.
Погиб при невыясненных обстоятельствах 7 марта 1987 года в г. Мапуту (Мозамбик) - утром был найден мёртвым в шахте лифта гостиницы, где проживал. Похоронен на Кунцевском кладбище в Москве.