Родился 4 декабря 1931 года в Москве в семье военного летчика Павла Николаевича (1905—1965) и работницы авиаремонтных мастерских Анастасии Яковлевны (1906—2004) Барашковых. Детские годы Левы прошли в подмосковных Люберцах, где дислоцировалась воинская часть его отца. Как все друзья, он мечтал стать летчиком и драться в небе с врагами. Во время войны мальчишка убежал из дома и, назвавшись круглым сиротой, попытался стать сыном полка. Но в деревне под Подольском, где ему уже подгоняли по росту форму, беглеца опознал отцовский сослуживец и отправил обратно. [1] Во время учёбы в Калужском педагогическом институте занимался в драматическом кружке под руководством Зиновия Корогодского. Играл в футбол, выступал за ФК «Локомотив» (Калуга).
После назначения Корогодского главным режиссёром Калининградского областного драматического театра, год выступал на профессиональной сцене.
В 1956 поступил в ГИТИС (курс А. А. Гончарова).
По окончании института был приглашён в Московский драматический театр им. А. С. Пушкина, главным режиссёром которого был Борис Равенских. В спектакле-концерте, поставленном Равенских, Барашков исполнил песни «А у нас во дворе» Аркадия Островского на стихи Льва Ошанина и «Хотят ли русские войны» Эдуарда Колмановского на стихи Евгения Евтушенко.
В середине 1960-х оставил театр и стал солистом ансамбля Игоря Гранова «Голубые гитары», с 1966 по 1976 год работал в Москонцерте с ансамблем Е. А. Савари и вскоре начал сольные выступления.
Визитной карточкой певца стала песня Александры Пахмутовой на стихи Николая Добронравова и Сергея Гребенникова «Главное, ребята, сердцем не стареть». Примечательно, что он был первым исполнителем этой знаменитой песни. Так же первым спел песню «На безымянной высоте». К числу других его удач можно отнести исполнение таких популярных песен, как «Весёлая кадриль» (комп. В. Темнов), «Песенка про сатану» (комп. Б. Мокроусов), «Обнимая небо» (комп. А. Пахмутова).
Голос Барашкова — лирический баритон приятного теплого тембра. Хотя вокалу Барашков профессионально не обучался, он достиг высокого уровня исполнительского мастерства. Певец был взыскателен к подбору репертуара. Для него было характерно бодрое, эмоциональное и вместе с тем ровное, чистое пение, непринужденная манера исполнения. Он по праву стал одним из наиболее популярных певцов нашей страны во второй половине 1960-х первой половине 1970-х годов.
В его репертуар вошла песня из кинофильма «Белое солнце пустыни», произведения Владимира Высоцкого, Юрия Визбора и других советских бардов.
В 1985 году Лев Барашков подготовил концертную программу «Наполним музыкой сердца» по произведениям Юрия Визбора. — В конце 1990-х создал несколько музыкальных программ, составленных из песен прошлых лет.
В период с 1959 по 1974 годы сыграл пять ролей в кино, записал песни к кинофильмам «Тишина» и «Неуловимые мстители».
Был женат на актрисе и балерине Людмиле Барашковой (Бутениной). У них родилась дочь Анастасия.
Умер 23 февраля 2011 года. Похоронен на Ваганьковском кладбище (23 участок).