Окончив 7 классов, поступил в Могилевский машиностроительный техникум, а спустя год забрал документы и подался в Ригу – в мореходное училище. Но и там задержался лишь на полгода. Вернулся в Белыничи, где решил доучиться в десятилетке. Школа в райцентре славилась художественной самодеятельностью и драмкружком.
В Белорусский театрально-художественный институт в 1953 году поступил без особых сложностей, несмотря на высокий конкурс. Ему посчастливилось попасть на курс легендарного педагога, народного артиста БССР, профессора Константина Санникова. А ассистентом знаменитого преподавателя в то время был Александр Бутаков, ныне театральный критик, кандидат искусствоведения, доцент кафедры мастерства актера в университете культуры и искусств.
В 1957 году шесть выпускников вуза, в числе которых был и Овсянников, были приняты в Национальный академический театр имени Янки Купалы. Этому театру он бессменно служит уже более 50 лет. Первые 10 лет играл в массовке, в то время как его однокурсника Тарасова пригласили на главную роль. Но затем пришёл и его час.
За эти годы сыграл более 80 ролей белорусского, русского, классического и зарубежного репертуара. Самые удачные — из национального репертуара. Именно в пьесах Андрея Макаёнка, Янки Купалы, Кондрата Крапивы, Ивана Мележа, Ивана Чигринова наиболее ярко проявился талант Овсянникова. Среди примечательных черт актера — его певучая, удивительно красивая белорусская речь.
Много лет плодотворно сотрудничает с белорусским радио и телевидением, создал ряд ярких образов в кино («Долгие версты войны», «Пламя», «Последнее лето детства» и другие).
Снимается в российских сериалах, например, «Частный детектив» на киностудии «Беларусьфильм». Считает, что «сериалы, может быть, и спасли российское кино, но ребята просто зарабатывают деньги. Актеров ругать за это не надо».
Овсянников о себе: «Я все успел, все свершил, теперь меня ждут другие приятности - вкусная еда (люблю сам с мясом повозиться, меня все близлежащие гастрономы знают), книги. Я как прихожу в чужой дом, сразу на книжную полку смотрю, по корешкам спешу пробежаться».