Отец Аррау скончался, когда мальчику не было и двух лет.
Клаудио с самого раннего возраста был настоящим гением – свой первый концерт он дал в 5 лет. В 6 лет Аррау уже выступал перед несколькими конгрессменами и президентом страны Педро Монтом (Pedro Montt); последний был настолько впечатлен музыкой мальчика, что тут же начал планировать его дальнейшую судьбу. В 8 лет Клаудио получил от чилийского правительства грант на 10 лет; ему предстояло учиться в Германии – кстати, вместе с ним туда отправлялись мать и сестра Квеча (Quecha). Аррау приняли в берлинскую консерваторию Штерна (Stern conservatory); там его наставником стал сам Мартин Краузе (Martin Krause) – один из учеников Франца Листа (Franz List). К 11 годам Клаудио уже освоил 'Трансцендентальные этюды' ('Transcendental Etudes') – пожалуй, едва ли не сложнейшие в мире фортепианные этюды; не менее спокойно исполнял Аррау и 'Вариации на тему Паганини' ('Paganini Variations') Брамса.
В 15 лет Аррау потерял своего наставника; смерть Краузе оказалась для Клаудио сильнейшим потрясением.
В 1937-м Аррау женился на немецкой певице (меццо-сопрано) Рут Шнайдер (Ruth Schneider); у них родилось трое детей – Кармен (Carmen), Марио (Mario) и Кристофер (Christopher). В 1941-м семья Аррау покинула Германию и перебралась в США; там они обосновались весьма и весьма основательно. Приют себе Клаудио нашел в Нью-Йорке (New York); в 1979-м он получил двойное гражданство.
Воспитан Клаудио был в духе римско-католической церкви; по его собственному признанию, пик религиозного пыла пришелся у Аррау на подростковые годы – во многом благодаря знакомому священнику-католику. В дальнейшем, однако, идея пресуществления отвратила Клаудио от церкви – уж слишком много в ней было от каннибализма; вскоре Аррау стал агностиком.
Клаудио был невероятно талантливым и душевным интерпретатором чужого творчества. Во время своих путешествий по миру он много читал; это с лихвой компенсировало недостаток образования. Известно, что кроме родного испанского музыкант владел английским, итальянским, немецким и французским.
К музыке Клаудио всегда относился невероятно добросовестно. С возрастом Аррау начал склоняться к более спокойному темпу игры, однако в юности он считался одним из лучших виртуозов фортепианной игры в мире.
Скончался Аррау во время работы над записью полного собрания сочинений Баха для клавишных инструментов. Останки его были захоронены в его родном городе Чильяне